Question

已知橢圓C：

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)．
（1）若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為

3

2

，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）的條件下，設(shè)過(guò)定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為

3

2

，求得幾何量，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，及∠AOB為銳角，建立不等式，即可求得直線l的斜率k的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，2a=4，e=

c

a

=

3

2

，∴a=2，c=

3

∴b=

a2-c2

=1
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x 2

4

+y2=1；
（2）顯然直線x=0不滿足條件，可設(shè)直線l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直線代入橢圓方程，消去y可得（1+4k²）x²+16kx+12=0
∵△=（16k）²-4×12×（1+4k²）＞0，∴k＜-

3

2

或k＞

3

2

x₁+x₂=-

16k

1+4k2

，x₁x₂=

12

1+4k2

∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=

4-4k2

1+4k2

由于∠AOB為銳角，x₁x₂+y₁y₂＞0，∴

12

1+4k2

+

4-4k2

1+4k2

＞0
∴2＜k＜2
∴直線L的斜率的取值范圍是（-2，-

3

2

）∪（

3

2

，2）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．