Question

（2012•安徽模擬）已知橢圓C：

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為

2

．
（1）（i）求橢圓C的方程；
（ii）類比結(jié)論“過(guò)圓

x

2

+

y

2

=r2上任一點(diǎn)（x₀，y₀）的切線方程是x0x+yy0=

r

2

”，歸納得出：過(guò)橢圓

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)上任一點(diǎn)（x₀，y₀）的切線方程是

x0x

a 2

+

y0y

b 2

=1

；
（2）設(shè)M，N是直線x=2上的兩個(gè)點(diǎn)，若

F1M

•

F2M

=0，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析：（1）直接利用橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)與長(zhǎng)半軸，求出b，然后求解橢圓的方程．
（2）（i）直接類比圓的切線方程，寫出橢圓的切線方程即可．
（ii）設(shè)m（2，y₁），N（2，y₂），通過(guò)向量的數(shù)量積，推出y₁，y₂的關(guān)系，求出|MN|的表達(dá)式，利用基本不等式求出最小值即可．

解答：解：（1）（i）由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知c=1，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為

2

，可知，a=

2

，所以b=1，
所以橢圓C的方程為

x 2

2

+y2=1．
（ii）過(guò)圓

x

2

+

y

2

=r2上任一點(diǎn)（x₀，y₀）的切線方程是x0x+yy0=

r

2

，
過(guò)橢圓

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)上任一點(diǎn)（x₀，y₀）的切線方程是：

x0x

a 2

+

y0y

b 2

=1．
（2）∵M(jìn)，N是直線x=2上的兩個(gè)點(diǎn)，
∴設(shè)m（2，y₁），N（2，y₂），（不妨y₁＞y₂）．
∵

F1M

•

F2M

=0，
∴（3，y₁）•（1，y₂）=0，
即3+y₁y₂=0，由于y₁＞y₂．所以
y₁＞0，y₂＜0，
∴|MN|=y₁-y₂=y₁+

3

y1

≥2

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)y₁=

3

，y₂=-

3

，時(shí)取等號(hào)．
故|MN|的最小值為：2

3

．
故答案為：（ii）

x0x

a 2

+

y0y

b 2

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，向量的數(shù)量積，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．