Question

設f（k）是滿足不等式log₂x+log₂（3•2^k-1-x）≥2K-1，（k∈N）的自然數(shù)x的個數(shù)，
（1）求f（x）的解析式；
（2）記S_n=f（1）+f（2）+…+f（n），求S_n解析式；
（3）記P_n=n-1，設T_n=

log2(Sn-Pn)

log2(Sn+1-Pn+1)-10.5

，對任意n∈N均有T_n＜m成立，求出整數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用對數(shù)的運算性質及對數(shù)的單調性可把原不等式可轉化為：

x＞0 3•2k-1-x＞0 x(3•2k-1-x)≥22k-1

，解不等式
可得x的范圍，進而可求f（k）
（2）利用分組求和及等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式可求
（3）由Tn=

log22n

log22n+1-10.5

=

n

n-9.5

=1+

9.5

n-9.5

，結合對應函數(shù)的單調性可求

解答：解：（1）原不等式可轉化為：

x＞0 3•2k-1-x＞0 x(3•2k-1-x)≥22k-1

即

x＞0 x＜3•2k-1 x2-3•2k-1x+2k-1•2k≤0

∴2^k-1≤x≤2^k（4分）
∴f（k）=2^k-（2^k-1-1）=2^k-1+1．（6′）
（2）∵S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）
=2⁰+2¹+…+2^n-1+n
=2ⁿ+n-1．（10′）
（3）∵Tn=

log22n

log22n+1-10.5

=

n

n-9.5

=1+

9.5

n-9.5

，（12′）
當1≤n≤9時，T_n單調遞減，此時(Tn)max=T1=-

2

17

，（14′）
當n≥10時，T_n單調遞減，此時（T_n）_max=T₁₀=20，
∴（T_n）_max=20，m_min=21．（16′）

點評：本題主要考查了對數(shù)的運算的運算性質的應用，對數(shù)不等式的解法，等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式的應用及理由數(shù)列的單調性求解數(shù)列的最大（小）項，屬于數(shù)列知識的綜合應用