Question

過(guò)點(diǎn)A （4，3）作直線(xiàn)L，如果它與雙曲線(xiàn)

x2

4

-

y2

3

=1只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線(xiàn)L的條數(shù)為（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)A（4，3）的直線(xiàn)L的方程，和雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式等于0求出和雙曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)的斜率，然后由二次項(xiàng)系數(shù)等于0求出和雙曲線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率，從而判斷出直線(xiàn)L的條數(shù)．

解答：解：因?yàn)辄c(diǎn)A（4，3）在雙曲線(xiàn)

x2

4

-

y2

3

=1的右支上，且不是右頂點(diǎn)，
所以要使過(guò)A（4，3）的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)

x2

4

-

y2

3

=1只有一個(gè)公共點(diǎn)，
則直線(xiàn)L的斜率存在且不等于0，設(shè)其斜率為k，
則L的方程為y-3=k（x-4），
聯(lián)立

y-3=k(x-4) x2 4 - y2 3 =1

，得（3-4k²）x²+（32k²-24k）x-64k²+96k-48=0．
當(dāng)3-4k²≠0時(shí)，
由△=（32k²-24k）²-4（3-4k²）（-64k²+96k-48）
=1024k⁴-1536k³+576k²+768k²-1152k+576-1024k⁴+1536k³-768k²
=576k²-1152k+576=0，得k=1．
所以過(guò)點(diǎn)A（4，3）與雙曲線(xiàn)

x2

4

-

y2

3

=1相切的直線(xiàn)一條；
當(dāng)3-4k²=0，即k=±

3

2

時(shí)，過(guò)點(diǎn)A（4，3）與雙曲線(xiàn)

x2

4

-

y2

3

=1相交于一點(diǎn)的直線(xiàn)有兩條，它們是平行于雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的兩條直線(xiàn)．
綜上，直線(xiàn)L的條數(shù)是3．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了判別式法判斷方程根的個(gè)數(shù)，是中檔題．