Question

過點(diǎn)A （4，3）作直線L，如果它與雙曲線-=1只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線L的條數(shù)為（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：寫出過點(diǎn)A（4，3）的直線L的方程，和雙曲線方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式等于0求出和雙曲線相切的直線的斜率，然后由二次項(xiàng)系數(shù)等于0求出和雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)的直線的斜率，從而判斷出直線L的條數(shù)．
解答：解：因?yàn)辄c(diǎn)A（4，3）在雙曲線-=1的右支上，且不是右頂點(diǎn)，
所以要使過A（4，3）的直線與雙曲線-=1只有一個(gè)公共點(diǎn)，
則直線L的斜率存在且不等于0，設(shè)其斜率為k，
則L的方程為y-3=k（x-4），
聯(lián)立，得（3-4k²）x²+（32k²-24k）x-64k²+96k-48=0．
當(dāng)3-4k²≠0時(shí)，
由△=（32k²-24k）²-4（3-4k²）（-64k²+96k-48）
=1024k⁴-1536k³+576k²+768k²-1152k+576-1024k⁴+1536k³-768k²
=576k²-1152k+576=0，得k=1．
所以過點(diǎn)A（4，3）與雙曲線-=1相切的直線一條；
當(dāng)3-4k²=0，即k=時(shí)，過點(diǎn)A（4，3）與雙曲線-=1相交于一點(diǎn)的直線有兩條，它們是平行于雙曲線漸近線的兩條直線．
綜上，直線L的條數(shù)是3．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了判別式法判斷方程根的個(gè)數(shù)，是中檔題．