Question

（2008•武漢模擬）曲線C：y=

1

x

的切線l被坐標(biāo)軸所截得線段的長的最小值為

3 3

2

．

Answer 1

分析：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點x₀處的切線方程，從而求出切線被兩坐標(biāo)軸所截線段，再用基本不等式求其最小值．

解答：解：由導(dǎo)數(shù)的公式可得y′=-

1

2

x-

3

2

，
則過（ x0，

1

x 0

）點的切線方程為 y-

1

x 0

=-

1

2

x 0-

3

2

(x-x0)，
由此得切線在x軸與y軸上的交點分別為A（ 3x₀，0），B（0，

3

2 x 0

）．
則|AB|²=9

x

2 0

+

9

4x 0

=9x

2 0

+

9

8 x   0

+

9

8x 0

≥3•

3	9 x 2 0 • 9 8x     0 • 9 8x   0

=

27

4

，
∴|AB|≥

3 3

2

，當(dāng)且僅當(dāng)

9x

2 0

=

9

8x   0

，等號成立．
故答案為

3 3

2

．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．