Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y-4=0，
（1）若直線l過(guò)點(diǎn)A（1，0）且被圓C截得的弦長(zhǎng)為2，求直線的方程；
（2）已知圓M過(guò)圓C的圓心，且與（1）中直線l相切，若圓M的圓心在直線y=x+1上，求圓M的方程．

Answer 1

分析：（1） 根據(jù)圓心到直線的距離等于2

2

，求出直線的斜率，即得直線的方程．
（2） 設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用圓心到切線的距離等于半徑求出半徑，再把圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)代入原方程，
求出圓心坐標(biāo)，即得圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（1）C：（x+1）²+（y-2）²=9直線x=1截圓得弦長(zhǎng)為2

5

，故l的斜率存在．
設(shè)l：y=k（x-1）半徑為3，弦長(zhǎng)為2，圓心C到l的距離為2

2

，
 

|2k+2|

1+k2

=2

2

，∴k=1，∴l(xiāng)：y=x-1．
（2）設(shè)M（a，a+1），∵r=

|a-(a+1)-1|

2

=

2

，∴圓M：（x-a）²+（y-a-1）²=2，
又過(guò)C（-1，2）∴（-1-a）²+（1-a）²=2，∴a=0，
故圓M的方程為：x²+（y-1）²=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式、以及弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，用待定系數(shù)法求圓的方程是一種
常用的方法．