Question

（2009•普陀區(qū)一模）如圖，已知圓C：x²+y²=r²與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為A．由點(diǎn)A出發(fā)的射線l的斜率為k，且k為有理數(shù)．射線l與圓C相交于另一點(diǎn)B．
（1）當(dāng)r=1時(shí)，試用k表示點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)r=1時(shí)，試證明：點(diǎn)B一定是單位圓C上的有理點(diǎn)；（說明：坐標(biāo)平面上，橫、縱坐標(biāo)都為有理數(shù)的點(diǎn)為有理點(diǎn)．我們知道，一個(gè)有理數(shù)可以表示為

q

p

，其中p、q均為整數(shù)且p、q互質(zhì)）
（3）定義：實(shí)半軸長(zhǎng)a、虛半軸長(zhǎng)b和半焦距c都是正整數(shù)的雙曲線為“整勾股雙曲線”．
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，是否能構(gòu)造“整勾股雙曲線”，它的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距的長(zhǎng)恰可由點(diǎn)B的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和半徑r的數(shù)值構(gòu)成？若能，請(qǐng)嘗試探索其構(gòu)造方法；若不能，試簡(jiǎn)述你的理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)r=1時(shí)，可知A點(diǎn)坐標(biāo)，就可設(shè)出直線l的點(diǎn)斜式方程，代入圓方程，解出B點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）由（1）中求出的用k表示點(diǎn)B的坐標(biāo)，來判斷，當(dāng)k為有理數(shù)時(shí)，點(diǎn)B是否為有理點(diǎn)，當(dāng)B為有理點(diǎn)時(shí)，k是否為有理數(shù)，證明中用到一個(gè)有理數(shù)可以表示為

q

p

，即若一個(gè)數(shù)是有理數(shù)，則這個(gè)數(shù)一定可以表示成

q

p

的形式，若一個(gè)數(shù)可以表示成

q

p

的形式，則這個(gè)數(shù)一定為有理數(shù)．
（3）先假設(shè)當(dāng)0＜k＜1時(shí)，能構(gòu)造“整勾股雙曲線”，它的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距的長(zhǎng)恰可由點(diǎn)B的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和半徑r的數(shù)值構(gòu)成．由（2）中結(jié)論，可找到此雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距，都用含p，q，r的式子表示，其中，p，q，r均為整數(shù)，且p，q互質(zhì)．據(jù)此求出k值，看是否為整數(shù)，若是，則假設(shè)成立，若不是，則假設(shè)不成立．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（x₂，y₂）．由題意，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），于是可設(shè)射線l的方程
為y=k（x+1），代入圓C的方程可得：x²+k²（x+1）²=1?（1+k²）x²+2k²x+（k²-1）=0．①
方程①中，一個(gè)解必為x=-1，則由根與系數(shù)關(guān)系可知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x2=

1-k2

1+k2

；代入直線方程可得y2=

2k

1+k2

．∴點(diǎn)B的坐標(biāo)即為(

1-k2

1+k2

，

2k

1+k2

)．
（2）充分性：設(shè)射線l的斜率k=

q

p

（其中p、q均為整數(shù)且p、q互質(zhì)），則由（1）可知x2=

1-( q p )2

1+( q p )2

=

p2-q2

p2+q2

，y2=

2( q p )

1+( q p )2

=

2pq

p2+q2

．因?yàn)閜、q均為整數(shù)，所以x₂、y₂必為一個(gè)有理數(shù)，從而B點(diǎn)必為一個(gè)有理點(diǎn)．
必要性：若B點(diǎn)為有理點(diǎn)，則可設(shè)x2=

q1

p1

，y2=

q2

p2

（其中p₁、q₁、p₂、q₂均為整數(shù)且p₁和q₁互質(zhì)、p₂和q₂互質(zhì)）于是，k=

y2

x2+1

=

q2

p2

•

p1

p1+q1

，因?yàn)閜₁、q₁、p₂、q₂均為整數(shù)，所以k必為一個(gè)有理數(shù)．
（3）設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₂，y₂）．當(dāng)0＜k＜1時(shí)，B點(diǎn)必定落在第一象限的四分之一圓周上，即x₂＞0，y₂＞0．而由x₂²+y₂²=r²，所以B的橫坐標(biāo)x₂、縱坐標(biāo)y₂以及圓的半徑r必能構(gòu)成某個(gè)雙曲線的一組實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距的數(shù)據(jù)．由（2）結(jié)論可知，此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)應(yīng)為

x2= |p2-q2 p2+q2 •r y2= 2pq p2+q2 •r

其中p、q此時(shí)均為正整數(shù)且p、q互質(zhì)．
于是，只要構(gòu)造圓半徑r=（p²+q²）•m（其中m為正整數(shù)）時(shí)，則會(huì)有x₂=|p²-q²|•m，y₂=2pq•m，它們都為正整數(shù)，且滿足x₂²+y₂²=r²．
因此，對(duì)于斜率為k=

q

p

（其中p、q均為整數(shù)，p＞q＞0且p、q互質(zhì)）的斜線l，只需確定圓的半徑滿足r=（p²+q²）•m（其中m為正整數(shù)），則必定能構(gòu)造“整勾股雙曲線”滿足題意．
特別地，因?yàn)楫?dāng)x₂=y₂時(shí)，點(diǎn)B坐標(biāo)必為(

2

2

r，

2

2

r)，而此時(shí)射線l的斜率為k=

y2

x2+r

=

2

-1，不是有理數(shù)．∴構(gòu)造出的雙曲線一定不是等軸雙曲線，即由x₂≠y₂，可構(gòu)造的“整勾股雙曲線”的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)可由

a=x2 b=y2 c=r

和

a=y2 b=x2 c=r

構(gòu)成，且個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓位置關(guān)系、沖要條件的證明，以及理解能力、推理能力，解題時(shí)要認(rèn)真理解題意，仔細(xì)運(yùn)算，本題有較大的思維量和運(yùn)算量