Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]．
（1）求實數(shù)a的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)．
（2）若a為任意實數(shù)，求函數(shù)f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]的最小值g（a）．
（3）對于函數(shù)y=g（a），若存在實數(shù)a₀使得g（a）≤g（a₀）成立，求g（a₀）的值及相應(yīng)a₀的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，區(qū)間[-5，5]在二次函數(shù)的對稱軸的左側(cè)或右側(cè)，從而得-a≥5，或-a≤-5，由此
求得實數(shù)a的取值范圍．
（2）分區(qū)間[-5，5]在二次函數(shù)的對稱軸的左側(cè)、右側(cè) 以及對稱軸在區(qū)間中間三種情況，根據(jù)二次
函數(shù)在[-5，5]上的單調(diào)性，求出f（x）的最小值g（a）．
（3）由題意可得，g（a₀）應(yīng)是g（a）的最大值，根據(jù)函數(shù)y=g（a）的解析式可得，g（a₀）的值
以及此時a₀的值．

解答：解：（1）由于二次函數(shù)f（x）=x²+2ax+2的對稱軸為x=-a，要使f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，
應(yīng)有-a≥5，或-a≤-5，解得 a≤-5，或a≥5，故實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-5]∪[5，+∞）．
（2）當-a≥5時，即a≤-5時，函數(shù)在[-5，5]上是減函數(shù)，f（x）的最小值g（a）=f（5）=27+10a．
當-a≤-5時，即a≥5 時，函數(shù)在[-5，5]上是增函數(shù)，f（x）的最小值g（a）=f（-5）=27-10a．
當-5＜-a＜5時，即-5＜a＜5時，f（x）的最小值g（a）=f（-a）=2-a²．
綜上可得，g（a）=

27+10a ， a≤-5 27-10a ，  a≥5 2-a 2，  -5＜a＜5

．
（3）對于函數(shù)y=g（a），若存在實數(shù)a₀使得g（a）≤g（a₀）成立，故g（a₀）應(yīng)是g（a）的最大值．
由函數(shù)y=g（a）=2-a² ，可得，g（a₀）=2，此時，a₀=0．

點評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，求函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的
數(shù)學思想，屬于中檔題．