Question

（2010•河?xùn)|區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=ln（1+ax）-x²（a＞0，x∈（0，1]）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式

1

n2

+λ≥ln（1+

2

n

）對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，研究導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值，通過導(dǎo)數(shù)大于0從而確定出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間即可，求單調(diào)遞增區(qū)間必須注意函數(shù)的定義域．
（2）先從不等式

1

n2

+λ≥ln（1+

2

n

）分離出參數(shù)λ，即λ≥ln（1+

2

n

）-

1

n2

，欲使此式恒成立，只須λ不小于右邊函數(shù)式的最大值即可，對(duì)其求導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的極值點(diǎn)，通過研究單調(diào)性從而確定出最大值，進(jìn)而求出變量λ的取值范圍．

解答：解：（1）f′(x)=

a

1+ax

-2x=

-2ax2-2x+a

1+ax

，
由-2ax²-2x+a=0，得x=

-1± 2a2+1

2a

．
∵a＞0，∴

-1- 2a2+1

2a

＜0，

-1+ 2a2+1

2a

＞0．
又∵

-1+ 2a2+1

2a

=

a

2a2+1 +1

＜1．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

-1+ 2a2+1

2a

)，遞減區(qū)間為(

-1+ 2a2+1

2a

，1)．（6分）
（2）不等式可變?yōu)棣恕輑n（1+

2

n

）-

1

n2

．
設(shè)g(x)=ln(1+

2

x

)-

1

x2

（x≥1），g′(x)=

- 2 x2

1+ 2 x

+

2

x3

=

-2x2+2x+4

x3(x+2)

，
令g′（x）=0，得x=-1或x=2．（10分）
∵當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，g′（x）＜0．
∴當(dāng)x=2時(shí)，g（x）取得最大值ln2-

1

4

．
因此，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是λ≥ln2-

1

4

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．