Question

如圖，一個計算裝置有兩個數(shù)據(jù)輸入口Ⅰ、Ⅱ與一個運(yùn)算結(jié)果輸出口Ⅲ，當(dāng)Ⅰ、Ⅱ分別輸入正整數(shù)m，n時，輸出結(jié)果記為f（m，n），且計算裝置運(yùn)算原理如下：
①若Ⅰ、Ⅱ分別輸入1，則f（1，1）=1；
②若Ⅱ輸入1，Ⅰ輸入正整數(shù)增大1，則輸出結(jié)果為原來3倍；
③若Ⅰ輸入固定的正整數(shù)，Ⅱ輸入的正整數(shù)增大1，則輸出結(jié)果比原來增大3．試求：
（1）f（2，1）、f（3，1）的值，并推導(dǎo)f（m，1）的表達(dá)式（m∈N*）；
（2）寫出的關(guān)系等式，并求f（m，n）的表達(dá)式（m，n∈N*）；
（3）若Ⅰ，Ⅱ都輸入正整數(shù)n，則輸出結(jié)果f（n，n）能否為2011？若能，求出相應(yīng)的n；若不能，則請說明理由．

Answer 1

解：（1）f（2，1）=3，f（3，1）=9
f（1，1）、f（2，1）、…、f（m，1）組成數(shù)列{f（m，1）}
由運(yùn)算原理①、②得：f（1，1）=1，f（m，1）=3f（m﹣1，1）
∴數(shù)列{f（m，1）}是以f（1，1）=1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列
∴f（m，1）=f（1，1）3 ^m﹣1=3 ^m﹣1
（2）f（m，1）、f（m，2）、…、f（m，n）組成數(shù)列{f（m，n）}，
由運(yùn)算原理③得：f（m，n）=f（m，n﹣1）+3
∴數(shù)列{f（m，n）}是以f（m，1）=3 ^m﹣1為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列
∴f（m，n）=3 ^m﹣1+3（n﹣1）
（3）不能，理由如下：
由（2）得 f（n，n）=3 ^n﹣1+3（n﹣1），
易知f（n，n）=3 ^n﹣1+3（n﹣1）遞增
又∵f（7，7）=36+18=747＜2011，f（8，8）=37+21=2208＞2011，
∴f（n，n）輸出結(jié)果不可能為2011.