Question

對于企業(yè)來說，生產(chǎn)成本、銷售收入和利潤之間的關(guān)系是個重要的問題．對一家藥品生產(chǎn)企業(yè)的研究表明，該企業(yè)的生產(chǎn)成本y（單位：萬元）和生產(chǎn)收入z（單位：萬元）都是產(chǎn)量x（單位：t）的函數(shù)，分別為：y=x³-24x²+63x+10，Z=18x．
①試寫出該企業(yè)獲得的生產(chǎn)利潤w（單位：萬元）與產(chǎn)量x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②當產(chǎn)量為多少時，該企業(yè)可獲得最大利潤？最大利潤為多少？

Answer 1

解：①由題意，利用銷售收入減去生產(chǎn)成本，可得生產(chǎn)利潤w=18x-（x³-24x²+63x+10）=-x³+24x²-45x-10（x＞0）；
②求導函數(shù)可得：w′=-3x²+48x-45=-3（x-1）（x-15）
∴函數(shù)在（1，15）上是單調(diào)增函數(shù)，在（15，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)
∴x=15時，可獲得最大利潤w=-3375+5400-675-10=1340萬元
∴產(chǎn)量為15t時，該企業(yè)可獲得最大利潤，最大利潤為1340萬元．
分析：①由題意，利用銷售收入減去生產(chǎn)成本，可得生產(chǎn)利潤函數(shù)；
②求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最大值．
點評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用導數(shù)知識解決實際問題，正確構(gòu)建函數(shù)是關(guān)鍵．