Question

下列函數(shù)，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（　�。�

• A、y=x+x³（x∈R）
• B、y=3^x（x∈R）
• C、y=-log₂x（x＞0，x∈R）
• D、y=-

  1

  x

  （x∈R，x≠0）

Answer 1

分析：要探討函數(shù)的奇偶性首先研究函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由此排除C，根據(jù)圖象排除B，D．即可得答案．

解答：解：對(duì)于A：f（-x）=-x-x³=-f（x），∴f（x）為奇函數(shù)．又∵y=x和y=x³都是增函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性知y=x+x³是增函數(shù)．A對(duì)．
∵C選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴C不對(duì)．
又∵B選項(xiàng)函數(shù)的圖象既不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱又不關(guān)于y軸對(duì)稱，∴y=3^x不是奇函數(shù)．∴B不對(duì)．
∵y=-

1

x

在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，∴D不對(duì)．
故答案為：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查常見(jiàn)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，以及判斷函數(shù)奇偶性的方法，是基礎(chǔ)題．