Question

（文）若

x≤2，y≤2 x+y≥2

，則目標函數(shù)z=x+2y的取值范圍是

[2，6]，（±

15

2

，0）

．
（理）將曲線 

x=cosθ y=sinθ

 (θ∈R)，上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，縱坐標縮小到原來的

1

2

倍后，得到的曲線的焦點坐標為

（±

15

2

，0）

．

Answer 1

分析：（文）畫出

x≤2，y≤2 x+y≥2

的可行域，則 A（2，0），B（2，2）是目標函數(shù)z=x+2y最優(yōu)解．把 A（2，0），B（2，2）分別代入目標函數(shù)z=x+2y得到z的最小值和最大值，從而得到目標函數(shù)z=x+2y的取值范圍．
（理）先將曲線

x=cosθ y=sinθ

 (θ∈R)上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，縱坐標縮小到原來的

1

2

倍后，得到的曲線是

x=2cosθ y= 1 2 sinθ

 (θ∈R)，再化成普通方程，表示焦點在x軸的橢圓，最后求得其焦點坐標即可．

解答：解：（文）畫出

x≤2，y≤2 x+y≥2

的可行域，則 A（2，0），B（2，2）是目標函數(shù)z=x+2y最優(yōu)解．
把 A（2，0），B（2，2）分別代入目標函數(shù)z=x+2y得到z=2和z=6，
故 2≤z≤6，即目標函數(shù)z=x+2y的取值范圍是[2，6]．
故答案為：[2，6]．

（理）將曲線 

x=cosθ y=sinθ

 (θ∈R) 上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，縱坐標縮小到原來的

1

2

倍后，
得到的曲線是：

x=2cosθ y= 1 2 sinθ

 (θ∈R)，其普通方程為：

x2

4

+

y2

1 4

=1，表示焦點在x軸的橢圓，
其a=2，b=

1

2

，c=

15

2

． 焦點坐標為（±

15

2

，0），
故答案為：（±

15

2

，0）．

點評：本題主要考查線性規(guī)劃問題，伸縮變換、橢圓的簡單性質(zhì)，考查運算求解能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，
屬于基礎(chǔ)題．