Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，其前n項和為S_n，且對任意正整數(shù)n，有n，a_n，S_n成等差數(shù)列．

(1)求證：數(shù)列{S_n+n+2}成等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

解：(1)∵n,a_n,S_n成等差數(shù)列  ∴2a_n=n+S_n

又a_n=S_n-S_n-1(n≥2)

∴2(S_n-S_n-1)=n+S_n  即S_n=2S_n-1+n

∴S_n+n+2=2S_n-1+2(n-1)=2[S_n-1+(n-1)+2]

且S₁+1+2=4≠0

∴{S_n+n+2}是等比數(shù)列 

(2)∵S_n+n+2=4·2^n-1=2ⁿ⁺¹  ∴S_n=2ⁿ⁺¹-n-2

∴a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-1

又當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1=2¹-1  ∴a_n=2ⁿ-1.