Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）減區(qū)間為，增區(qū)間為（2）

【解析】

（1）當(dāng)時(shí),,則,令,進(jìn)而求得單調(diào)區(qū)間即可；

（2）轉(zhuǎn)化問(wèn)題為求在上恒成立時(shí)的取值范圍,對(duì)求導(dǎo),分類(lèi)討論即可得到的值

解：（1）當(dāng)時(shí),,

所以,

令,則,

所以當(dāng)時(shí),則；當(dāng),則,

所以是上的減函數(shù),是上的增函數(shù),

故函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為

（2）解：由（1）知,

當(dāng)時(shí),對(duì)恒成立,所以是上的增函數(shù),

注意到,所以時(shí),,不合題意；

當(dāng)時(shí),令,則,所以當(dāng)時(shí),；

當(dāng)時(shí),,

所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

故只需,

設(shè),則,

令,則,

當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,

所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào),

故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,

所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),成立,即為所求.