Question

【題目】直線l過(guò)曲線C：yx2的焦點(diǎn)F，并與曲線C交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)．

（1）求證：x1x2＝﹣16；

（2）曲線C分別在點(diǎn)A，B處的切線（與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，且C在其一側(cè)的直線）交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）直線

【解析】

（1）求得拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，消去，得到的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，即可得證；

（2）求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得切線，的方程，注意，的坐標(biāo)滿足拋物線方程，聯(lián)立切線方程，解得的坐標(biāo)，即可得到所求軌跡．

（1）證明：曲線的焦點(diǎn)為，

由題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，

由，消可得，

，，，，

；

（2）由（1）可得，，

由，可得，

切線方程分別為，，

且，，可得，

解得，，

則的軌跡為直線．