Question

（12分）如圖，已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過點(diǎn) 和的直線與原點(diǎn)的距離為．

（1）求橢圓的方程;

（2）已知定點(diǎn)，若直線與橢圓交于、兩    點(diǎn)．問：是否存在的值，

使以為直徑的圓過點(diǎn)?請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）．（2）存在，使得以CD為直徑的圓過點(diǎn)E。

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)離心率求得a和c關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)a求得b，則橢圓的方程可得．

（2）由題意知，直線l的參數(shù)方程，代入橢圓方程聯(lián)立消去x，y，要使以CD為直徑的圓過點(diǎn)E（-1，0），當(dāng)且僅當(dāng)CE⊥DE時(shí)成立，利用關(guān)系式得到k的值。

解：（1）直線AB方程為：bx-ay-ab＝0．

依題意　解得　 

∴　橢圓方程為．　                  4分

（2）假若存在這樣的k值，

由得   ．6分

∴　　　　�、�

設(shè)，、，，則    ②    8分

而．

要使以CD為直徑的圓過點(diǎn)E（-1，0），當(dāng)且僅當(dāng)CE⊥DE時(shí)，則，即

  ∴　�、�

將②式代入③整理解得．      經(jīng)驗(yàn)證，，使①成立．

綜上可知，存在，使得以CD為直徑的圓過點(diǎn)E．    12分

考點(diǎn)：本題主要考查了橢圓的方程與其幾何性質(zhì)的運(yùn)用。直線與圓錐曲線的綜合問題．此類題綜合性強(qiáng)，要求學(xué)生要有較高地轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用能力，能將已知條件轉(zhuǎn)化到基本知識的運(yùn)用．

點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是熟悉圓錐曲線的基本性質(zhì)，能運(yùn)用a,b,c準(zhǔn)確表示，而對于是否存在要使以CD為直徑的圓過點(diǎn)E，轉(zhuǎn)化為垂直的關(guān)系式得到。