Question

已知點(diǎn)A和點(diǎn)B是雙曲線x²-

y2

2

=1上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足

OA

•

OB

=0，則點(diǎn)O到直線AB的距離等于（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、2

  2

Answer 1

分析：本題是關(guān)于圓錐曲線中的點(diǎn)到線的距離問題，由于雙曲線為中心對(duì)稱圖形，為此可考查特殊情況，設(shè)A為y=x與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，則得到B為直線y=-x與雙曲線在第四象限的一個(gè)交點(diǎn)，因此直線AB與x軸垂直，點(diǎn)O到AB的距離就為點(diǎn)A或點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的值，聯(lián)立直線與雙曲線的解析式，求出x的值即可．

解答：解：由

OA

•

OB

=0?OA⊥OB，由于雙曲線為中心對(duì)稱圖形，
令點(diǎn)A為直線y=x與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，
因此點(diǎn)B為直線y=-x與雙曲線在第四象限的一個(gè)交點(diǎn)，
因此直線AB與x軸垂直，點(diǎn)O到AB的距離就為點(diǎn)A或點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的值，
由

x2- y2 2 =1 y=x

，
解得x=

2

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道基礎(chǔ)題，因?yàn)殡p曲線是中心對(duì)稱圖形，學(xué)生做題時(shí)可取特殊情況得到點(diǎn)與直線的距離為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這是此題的突破點(diǎn)．