Question

【題目】已知平面內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)M到定點(diǎn)F(3，0)的距離和它到定直線l：x=6的距離之比是常數(shù)．

(1)求動點(diǎn)M的軌跡T的方程；

(2)若直線l：x+y-3=0與軌跡T交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的垂直平分線與T交于C，D兩點(diǎn)，試問A，B，C，D是否在同一個(gè)圓上?若是，求出該圓的方程；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）四點(diǎn)共圓，圓方程為.

【解析】

（1）按求軌跡方法，把條件用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示，化簡，即可求解；

（2）先求出直線與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線垂直平分線方程，若四點(diǎn)共圓，此圓以為直徑，故只需證明中點(diǎn)與的距離是否等于.

（1）設(shè)是點(diǎn)到直線的距離，的坐標(biāo)為，

由題意，所求的軌跡集合是，

由此得，化簡得T：；

（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，由，

得，中點(diǎn)，

的垂直平分線方程為，

由消去得，

設(shè)，則，

，

設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，

，所以，

，

所以四點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，

此圓方程為.