Question

已知函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）+acos（2x+φ），其中a，φ為正常數(shù)，且0＜φ＜π，若f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

6

對稱，f（x）的最大值為2．
（1）求a和φ的值；
（2）由y=f（x）的圖象經(jīng)過怎樣的平移得到y=2sin(2x+

π

3

)的圖象．

Answer 1

分析：（1）化簡函數(shù)的解析式為 一個角的一個三角函數(shù)的形式，利用函數(shù)的對稱軸以及函數(shù)的最大值求出a，與φ的值．
（2）求出化簡后的函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的圖象的平移變換，寫出結(jié)果即可．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）+acos（2x+φ）=

1+a2

sin（2x+φ+θ），其中tanθ=a．
由三角函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)的周期是π，f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

6

對稱，
函數(shù)在y軸右側(cè)的第一個最大值為x=

π

6

s時取得．
∴2×

π

6

+φ+θ=

π

2

，φ+θ=

π

6

，
f（x）的最大值為2．∴

1+a2

=2，∴a=±

3

，
當(dāng)a=

3

時，tanθ=a=

3

，θ=

π

3

，∵0＜φ＜π，φ=-

π

6

（舍去）．
當(dāng)a=-

3

時，tanθ=a=-

3

，∴θ=-

π

3

，∵0＜φ＜π，φ=

π

2

．
∴a=-

3

，φ=

π

2

．
（2）由（1）可知函數(shù)的解析式為：f（x）=2sin（2x+

π

6

），
將函數(shù)的圖象向左平移

π

12

，可得f（x）=2sin[2（x+

π

12

）+

π

6

]=2sin(2x+

π

3

)的圖象．

點評：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，求得a是關(guān)鍵，考查正弦函數(shù)的對稱性，考查分析、轉(zhuǎn)化與運用三角知識解決問題的能力，屬于難題．