Question

設(shè)f(k)是滿足不等式log₂x+log₂(3×2^k-1-x)≥2k-1(k∈N₊)的自然數(shù)x的個數(shù).

(1)求f(k)的解析式；

（2）記S_n=f(1)+f(2)+…+f(n)，求S_n的解析式；

（3）令P_n=n²+n-1(n∈N₊),試比較S_n與P_n的大小.

Answer 1

解：(1)由已知不等式可得

2^k-1≤x≤2^k,從而f(k)=2^k-2^k-1+1=2^k-1+1.

(2)S_n=f(1)+f(2)+…+f(n)

=2⁰+2¹+…+2^n-1+n

=2ⁿ+n-1.

(3)S_n-P_n=2ⁿ-n².

當n=1時,2¹-1²＞0;當n=2時,2²-2²=0;

當n=3時,2³-3²＜0;當n=4時,2⁴-4²=0;

當n=5時,2⁵-5²＞0;當n=6時,2⁶-6²＞0.

猜想：當n≥5時,S_n＞P_n.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當n=5時,S_n＞P_n,上面已證；

②假設(shè)n=k時，S_k＞P_k,即2^k＞k²,

則n=k+1時,

∵S_k-P_k+1=2^k+1-(k-1)²＞2k²-(k+1)²=(k-1)²-2,

當k≥5時，(k-1)²-2＞0,∴S_k+1＞P_k+1.

故當n≥5時，總有S_n＞P_n成立.

綜上可知：當n=1或n≥5時，有S_n＞P_n;

當n=2或n=4時,S_n=P_n;

當n=3時,S_n＜P_n.