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        1. (2006•朝陽區(qū)一模)已知矩形ABCD中,AB=
          2
          ,AD=1
          ,將△ABD沿BD折起,使點A在平面BCD內(nèi)的射影落在DC上,E、F、G分別為棱BD、AD、AB的中點.
          (1)求證:DA⊥平面ABC;
          (2)求點C到平面ABD的距離;
          (3)求二面角G-FC-E的大小.
          分析:(1)根據(jù)DA⊥AB,平面ACD經(jīng)過平面BCD的垂線,根據(jù)面面垂直的判定定理可知平面ACD⊥平面BCD,從而得到BC⊥平面ACD
          ,則BC⊥DA,AB∩BC=B,滿足線面垂直的判定定理所需條件;
          (2)設(shè)求點C到平面ABD的距離為d,由(1)結(jié)論可知DA⊥平面ABC,則DA是三棱錐D-ABC的高,根據(jù)VC-ABD=VD-ABC建立等式關(guān)系,解之即可求出所求;
          (3)先證平面ABD⊥平面FGC,在平面ABD內(nèi)作EH⊥FG,垂足為H,作HK⊥FC,垂足為K,連接EK,故EK⊥FC,從而∠EKH為二面角E-FC-G的平面角,在Rt△FEC中求出此角即可.
          解答:解:(1)證明:依條件可知DA⊥AB①
          ∵點A在平面BCD上的射影落在DC上,即平面ACD經(jīng)過平面BCD的垂線
          ∴平面ACD⊥平面BCD
          又依條件可知BC⊥DC,∴BC⊥平面ACD
          ∵DA?平面ACD∴BC⊥DA②∵AB∩BC=B,∴由①、②得DA⊥平面ABC …4分
          (2)解:設(shè)求點C到平面ABD的距離為d,于是VC-ABD=VD-ABC
          由(1)結(jié)論可知DA⊥平面ABC,∴DA是三棱錐D-ABC的高
          ∴由VC-ABD=VD-ABC,得
          1
          3
          dS△ABD=
          1
          3
          DAS△ABC
          ,解得d=
          2
          2

          即點C到平面ABD的距離為
          2
          2
          …8分
          (3)解:由(I)結(jié)論可知DA⊥平面ABC,∵AC、CG?平面ABC
          ∴DA⊥AC①DA⊥CG②
          由①得△ADC為直角三角形,易求出AC=1
          于是△ABC中AC=BC=1
          ∵G是等腰△ABC底邊AB的中點,∴CG⊥AB③∵AB∩DA=A④∴由②、③、④得CG⊥平面ABD
          ∵CG?平面FGC∴平面ABD⊥平面FGC
          在平面ABD內(nèi)作EH⊥FG,垂足為H∴EH⊥平面FGC
          作HK⊥FC,垂足為K,連接EK,故EK⊥FC
          ∴∠EKH為二面角E-FC-G的平面角 …10分
          設(shè)Rt△ABD邊BD上的高為h,容易求出h=
          6
          3
          ,∴EH=
          6
          6

          在△EFC中,容易求出FE=
          2
          2
          ,EC=
          3
          2
          ,F(xiàn)C=
          5
          2

          三邊長滿足FC2=FE2+EC2,∴∠FEC=90°
          于是在Rt△FEC中容易求出EK=
          30
          10
          ,∴sin∠EKH=
          EH
          EK
          =
          5
          3
          …12分
          于是二面角E-FC-G的大小為arcsin
          5
          3
          …13分
          點評:本題主要考查了線面垂直的判定,點面距離的定理和二面角平面角的度量,同時考查了空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
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          (2006•朝陽區(qū)一模)已知向量
          a
          =(2,3),
          b
          =(1,2),且(
          a
          b
          )⊥(
          a
          -
          b
          )
          ,則λ等于( 。

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          (2006•朝陽區(qū)一模)設(shè)復(fù)數(shù)z1=1+i,z2=2-3i,則z1•z2等于
          5-i
          5-i

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          (2006•朝陽區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=
          ax
          x2+b
          ,在x=1處取得極值為2.
          (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
          (Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(m,2m+1)上為增函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍;
          (Ⅲ)若P(x0,y0)為f(x)=
          ax
          x2+b
          圖象上的任意一點,直線l與f(x)=
          ax
          x2+b
          的圖象相切于點P,求直線l的斜率的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2006•朝陽區(qū)一模)設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+cx(a,c∈R),當(dāng)x=1時,f(x)取極小值-
          2
          3

          (Ⅰ)求f(x)的解析式;
          (Ⅱ)若x1,x2∈[-1,1]時,求證:|f(x1)-f(x2)|≤
          4
          3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2006•朝陽區(qū)一模)已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0),中心在坐標(biāo)原點O,一條準(zhǔn)線的方程是x=1,過橢圓的左焦點F,且方向向量為
          a
          =(1,1)的直線l交橢圓于A、B兩點,AB的中點為M.
          (Ⅰ)求直線OM的斜率(用a、b表示);
          (Ⅱ)直線AB與OM的夾角為α,當(dāng)tanα=2時,求橢圓的方程;
          (Ⅲ)當(dāng)A、B兩點分別位于第一、三象限時,求橢圓短軸長的取值范圍.

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          同步練習(xí)冊答案