Question

已知函數(shù)f(x)=1+lo

g

x 2

，x∈[

1

64

，16]，令g（x）=[f（x）]²+f（x²）+p，p為常數(shù)．
（Ⅰ）若g（x）的最大值為13，求p的值；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）是否存在大于1的零點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)p的取值范圍，若不存在，說明理由；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）有兩個(gè)互異的零點(diǎn)α，β，求p的取值范圍，并求α•β的值．

Answer 1

分析：此題考查對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合，關(guān)鍵寫出g（x），在利用與二次函數(shù)的復(fù)合，求解最值

解答：（Ⅰ）g（x）=[f（x）]²+f（x²）+p=(log2x)2+4log2x+p+2，
令t=log₂x，x∈[

1

16

，16]，
∴t∈[-6，4]
則g（x）=h（t）=t²+4t+p+2
∴在t=4時(shí)，取得最大值，所以34+p=13
∴p=-21
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若g（x）存在大于1的零點(diǎn)，即h（t）在t∈（0，4]時(shí)有零點(diǎn)
h（t）表示的二次函數(shù)開口向上，對稱軸t=-2，所以若h（t）在t∈（0，4]時(shí)有零點(diǎn)，即h（0）＜0，且h（4）≥0
∴

p+2＜0 34+p≥0

∴即p的取值范圍為[-34，-2）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，g（x）有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，h（t）在t∈[-6，4]時(shí)有兩個(gè)相異零點(diǎn)，h（t）表示的二次函數(shù)開口向上，對稱軸t₀=-2
∴

h(-2)＜0 h(-6)≥0

即p的取值范圍為[-14，2），
此時(shí)，方程h（t）=t²+4t+p+2的兩根t₁+t₂=-4
即log₂α+log₂β=-4
∴αβ=

1

16

點(diǎn)評：此題考查對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的復(fù)合問題，關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)對稱軸，最值．