Question

已知函數(shù)f(x)=

1

4

x4+x3-

9

2

x2+cx有三個(gè)極值點(diǎn)．
（I）證明：-27＜c＜5；
（II）若存在實(shí)數(shù)c，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，a+2]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）題目中：“有三個(gè)極值點(diǎn)”先轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，即f'（x）=x³+3x²-9x+c=0有三個(gè)互異的實(shí)0即可；
（2）存在性問(wèn)題，由于f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，x₁]，[x₂，x₃]，只需[a，a+2]是（-∞，x₁]或[x₂，x₃]的子集即可．

解答：解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=

1

4

x4+x3-

9

2

x2+cx有三個(gè)極值點(diǎn)，
所以f'（x）=x³+3x²-9x+c=0有三個(gè)互異的實(shí)根．
設(shè)g（x）=x³+3x²-9x+c，則g'（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1），
當(dāng)x＜-3時(shí)，g'（x）＞0，g（x）在（-∞，-3）上為增函數(shù)；
當(dāng)-3＜x＜1時(shí)，g'（x）＜0，g（x）在（-3，1）上為減函數(shù)；
當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)；
所以函數(shù)g（x）在x=-3時(shí)取極大值，在x=1時(shí)取極小值．
當(dāng)g（-3）≤0或g（1）≥0時(shí)，g（x）=0最多只有兩個(gè)不同實(shí)根．
因?yàn)間（x）=0有三個(gè)不同實(shí)根，所以g（-3）＞0且g（1）＜0．
即-27+27+27+c＞0，且1+3-9+c＜0，
解得c＞-27，且c＜5，故-27＜c＜5．
（II）由（I）的證明可知，當(dāng)-27＜c＜5時(shí)，f（x）有三個(gè)極值點(diǎn)．
不妨設(shè)為x₁，x₂，x₃（x₁＜x₂＜x₃），則f'（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）．
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，x₁]，[x₂，x₃]
若f（x）在區(qū)間[a，a+2]上單調(diào)遞減，
則[a，a+2]?（-∞，x₁]，或[a，a+2]?[x₂，x₃]，
若[a，a+2]?（-∞，x₁]，則a+2≤x₁．由（I）知，x₁＜-3，于是a＜-5．
若[a，a+2]?[x₂，x₃]，則a≥x₂且a+2≤x₃．由（I）知，-3＜x₂＜1．
又f'（x）=x³+3x²-9x+c，當(dāng)c=-27時(shí)，f'（x）=（x-3）（x+3）²；
當(dāng)c=5時(shí)，f'（x）=（x+5）（x-1）²．
因此，當(dāng)-27＜c＜5時(shí)，1＜x₃＜3．所以a＞-3，且a+2≤3．
即-3＜a＜1．故a＜-5，或-3＜a＜1．反之，當(dāng)a＜-5，或-3＜a＜1時(shí)，
總可找到c∈（-27，5），使函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，a+2]上單調(diào)遞減．
綜上所述，a的取值范圍是（-∞，-5）∪（-3，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，恒成立問(wèn)題的處理方法