Question

【題目】已知圓的圓心為，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過點(diǎn)作斜率不為0的直線與（1）中的軌跡交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交軸于點(diǎn)，求．

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】分析：（1）利用待定系數(shù)法求出點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上，點(diǎn)的軌跡的方程為．（2）先求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求．

詳解：（1）由題意知，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，所以，

∴，

∴點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上，

，，，

∴點(diǎn)的軌跡的方程為．

（2）依題意可設(shè)直線方程為，將直線方程代入，

化簡(jiǎn)得，

設(shè)直線與橢圓的兩交點(diǎn)為，，

由，得，①

且，，②

因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則，可設(shè)，

所以，

所以所在直線方程為，

令，得，③

把②代入③，得，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴．