Question

在曲線y=x²（x≥0）上某一點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍圖形的面積為

1

12

．試求切點(diǎn)A的坐標(biāo)及過切點(diǎn)A的切線方程．

Answer 1

分析：求切點(diǎn)A的坐標(biāo)及過切點(diǎn)A的切線方程，先求切點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a²），只須在切點(diǎn)處的切線方程，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率從而得到切線的方程進(jìn)而求得面積的表達(dá)式．最后建立關(guān)于a的方程解之即得．最后求出其斜率的值即可，即導(dǎo)數(shù)值即可求出切線的斜率．從而問題解決．

解答：解：如圖所示，設(shè)切點(diǎn)A（x₀，y₀），
由y′=2x，得過點(diǎn)A的切線方程為
y-y₀=2x₀（x-x₀），即y=2x₀x-x₀²．
令y=0，得x=

x0

2

，即C（

x0

2

，0）．
設(shè)由曲線和過A點(diǎn)的切線及x軸所圍成圖形的面積為S．
S_{曲邊三角形AOB}=∫x₀₀x²dx=

1

3

x^3|x₀₀=

1

3

x₀³，
S_△ABC=

1

2

|BC|•|AB|=

1

2

（x₀-

x0

2

）•x₀²=

1

4

x₀³．
∴S=

1

3

x₀³-

1

4

x₀³=

1

12

x₀³=

1

12

．
∴x₀=1，從而切點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），切線方程為y=2x-1．

點(diǎn)評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、定積分的應(yīng)用、直線的方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．