Question

已知點P在圓x²＋y²＝1上運動，過點P作x軸的垂線，垂足為D，點M在DP的延長線上，且有|DP|＝|MP|.(1)求M點的軌跡方程C；(2)已知直線l過點(0，)，且斜率為1，求l與C相交所得的弦長．

 

Answer 1

【答案】

(1) x² ＋＝1 (2)

【解析】此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，以及動點的軌跡方程，涉及的知識有：直線與圓的交點，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，基本不等式的運用，以及直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及分類討論的思想，是一道綜合性較強的試題．

（1）設(shè)出M的坐標(biāo)為（x，y），點P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），由題意DP⊥x軸，點M在DP的延長線上，且|DP|＝|MP|，找出x₀與x的關(guān)系及y₀與y的關(guān)系，記作①，根據(jù)P在圓上，將P的坐標(biāo)代入圓的方程，記作②，將①代入②，即可得到點M的軌跡方程；

（2）直線與圓聯(lián)立求解方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到弦長公式。

解：(1)設(shè)P(x₀,y₀)，M(x,y)，由題意知，    ……3分

又點P在圓x²＋y²＝1，可得M點的軌跡方程為x² ＋＝1．  ……6分

(2)由(1)知聯(lián)立上式得4x²＋(x＋)²＝4,5x²＋2x－1＝0,可知必有D>0…8分

設(shè)l與C的交點為A(x₁，y₁), B(x₂，y₂)，則有x₁＋x₂ ＝－,  x₁x₂ ＝－．…10分

\|AB|＝|x₁－x₂|＝

＝＝＝．  ……12分