Question

在球內(nèi)有相距1 cm的兩個(gè)平行截面，截面面積分別是5π cm²和8π cm²，球心不在截面之間，求球面的面積．

Answer 1

球的表面積是36π cm²．

已知截面面積,也就能求出截面半徑．要求球的面積,只要求出球的半徑即可．設(shè)球的半徑為R,利用幾何關(guān)系,容易得到球心到兩截面的距離分別為和,由于球心不在截面之間,即兩截面在同一側(cè),故這兩個(gè)距離相減即得到兩平面之間距離．

如圖，圓O是球的大圓，A₁B₁、A₂B₂分別是兩條平行于截面圓的直徑，過(guò)O作OC₁⊥A₁B₁于C₁，交A₂B₂于C₂．由于A₁B₁∥A₂B₂，所以O(shè)C₂⊥A₂B₂．由圓的性質(zhì)可得，C₁和C₂分別是A₁B₁和A₂B₂的中點(diǎn)．
設(shè)兩平行平面的半徑分別為r₁和r₂，且r₁＜r₂，
依題意πr₁²=5π，πr₂²=8π，∴r₁²=5，r₂²=8．
∵OA₁和OA₂都是球的半徑R，
∴，．
∴．
解這個(gè)方程得R²=9，∴S_球=4πR²=36π(cm²)．
∴球的表面積是36π cm²．