Question

【題目】已知直線，.

(1)若直線，分別經(jīng)過定點，，求定點，的坐標(biāo);

(2)是否存在一個定點，使得與的交點到定點的距離為定值?如果存在，求出定點的坐標(biāo)及定值;如果不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 存在，， .

【解析】

(1)求直線經(jīng)過定點，即當(dāng).求直線經(jīng)過定點,可將化簡為即當(dāng)

即可得出答案.

(2) 解法一:通過直線可解得將其代入,整理的,進(jìn)而可以得出定點,和定長.

解法二:當(dāng),直線的斜率,直線的斜率,所以，即兩條直線始終垂直,根據(jù)由圓的知識:圓周角所對的弦是圓的直徑, 即可得出和為直徑端點的圓周上.即可求出答案.

(1)由，當(dāng)，則.

由，

當(dāng)，則.

(2)解法一:由可知當(dāng)時，得:，

代入，，

整理得:，

可得交點一定在圓:上，

故滿足條件的定點為，定值.

解法二:由時兩直線垂直，

時，，即兩條直線始終垂直，

又過定點，過定點，

則與的交點在以和為直徑端點的圓周上，

根據(jù)中點坐標(biāo)公式: 的的圓心為

根兩點距離公式: 求得

可得交點一定在圓:上，

故滿足條件的定點為，定值.

綜上所述: 存在一個定點，使得與的交點到定點的距離為.