Question

已知f（x）是實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且對(duì)任意x∈R，f（x）=f（x+1）+f（x-1）恒成立．
（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；
（2）已知f（3）=2，求f（2 004）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對(duì)任意x∈R，f（x）=f（x+1）+f（x-1）恒成立，以及遞推關(guān)系可得f（x+3）=-f（x），將x+3代入可得f（x+6）=f（x），最后根據(jù)周期函數(shù)的定義可知f（x）的周期，從而證得結(jié)論；
（2）根據(jù)f（x）是周期函數(shù)且6是它的一個(gè)周期，將f（2004）轉(zhuǎn)化成f（0），而f（0）與f（3）互為相反數(shù)，即可求出所求．

解答：解：（1）證明∵f（x）=f（x+1）+f（x-1）
∴f（x+1）=f（x）-f（x-1），
則f（x+2）=f[（x+1）+1]=f（x+1）-f（x）
=f（x）-f（x-1）-f（x）=-f（x-1）．
∴f（x+3）=f[（x+1）+2]=-f[（x+1）-1]
=-f（x）．
∴f（x+6）=f[（x+3）+3]=-f（x+3）=f（x）．
∴f（x）是周期函數(shù)且6是它的一個(gè)周期．
（2）∵f（x）是周期函數(shù)且6是它的一個(gè)周期．
f（2004）=f（334×6）=f（0）=-f（3）=-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)的周期性，以及求函數(shù)值等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于基礎(chǔ)題．