Question

已知數列{a_n}的首項是a₁=1，前n項和為S_n，且S_n+1=2S_n+3n+1（n∈N^*）．
（1）設b_n=a_n+3（n∈N^*），求數列{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=log₂b_n，若存在常數k，使不等式k≥

cn-1

(n+25)cn

(n∈N*)恒成立，求k的最小值．

Answer 1

分析：（1））∵S_n+1=2S_n+3n+1，∴當n≥2時，S_n=2S_n-1+3（n-1）+1，兩式相減得a_n+1=2a_n+3，從而b_n+1=a_n+1+3=2（a_n+3）=2b_n（n≥2），由此可以導出數列{b_n}的通項公式．
（2）由題意知c_n=log₂b_n=log₂4×2^n-1=log₂2ⁿ⁺¹，再用均值不等式進行求解．

解答：解：（1）∵S_n+1=2S_n+3n+1，
∴當n≥2時，S_n=2S_n-1+3（n-1）+1，兩式相減得a_n+1=2a_n+3，從而b_n+1=a_n+1+3=2（a_n+3）=2b_n（n≥2），
∵S₂=2S₁+3+1，
∴a₂=a₁+4=5，可知b₂≠0．
∴bn≠0

&(n≥2)

．
∴

bn+1

bn

=2(n≥2)，又

b2

b1

=

a2+3

a1+3

=

8

4

=2．
∴數列{b_n}是公比為2，首項為4的等比數列，
因此b_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹（n∈N^*）
（2）據（1）c_n=log₂b_n=log₂4×2^n-1=log₂2ⁿ⁺¹=n+1

cn-1

(n+25)cn

=

n+1-1

(n+25)(n+1)

=

n

(n+25)(n+1)

=

1

n+ 25 n +26

≤

1

2×5+26

=

1

36

，（當且僅當n=5時取等號）．
故不等式k≥

cn-1

(n+25)cn

(n∈N*)恒成立，?k≥

1

36

．

點評：本題考查數列的綜合運用，解題時要注意均值不等式的合理運用．