Question

（2012•天津）已知{a_n}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，{b_n}是等比數(shù)列，且a₁=b₁=2，a₄+b₄=27，S₄-b₄=10．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，n∈N^*，證明：T_n-8=a_n-1b_n+1（n∈N^*，n≥2）．

Answer 1

分析：（1）直接設(shè)出首項(xiàng)和公差，根據(jù)條件求出首項(xiàng)和公差，即可求出通項(xiàng)．
（2）先借助于錯(cuò)位相減法求出T_n的表達(dá)式；再代入所要證明的結(jié)論的兩邊，即可得到結(jié)論成立．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，
由a₁=b₁=2，得a₄=2+3d，b₄=2q³，s₄=8+6d，
由a₄+b₄=27，S₄-b₄=10，得方程組

2+3d+2q3=27 8+6d-2q3=10

，
解得

d=3 q=2

，
所以：a_n=3n-1，b_n=2ⁿ．
（2）證明：由第一問(wèn)得：T_n=2×2+5×2²+8×2³+…+（3n-1）×2ⁿ；   ①；
2T_n=2×2²+5×2³+…+（3n-4）×2ⁿ+（3n-1）×2ⁿ⁺¹，②．
由①-②得，-T_n=2×2+3×2²+3×2³+…+3×2ⁿ-（3n-1）×2ⁿ⁺¹
=

6×(1-2n)

1-2

-（3n-1）×2ⁿ⁺¹-2
=-（3n-4）×2ⁿ⁺¹-8．
即T_n-8=（3n-4）×2ⁿ⁺¹．
而當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1b_n+1=（3n-4）×2ⁿ⁺¹．
∴T_n-8=a_n-1b_n+1（n∈N^*，n≥2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問(wèn)題．解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，基本方法．并考察計(jì)算能力．