Question

【題目】已知函數(shù)f （x）=lnx﹣mx+m．
（1）若f （x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，對任意的0＜a＜b，求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：定義域為（0，∞），f′（x）= ﹣m= ，

當m≤0時，f′（x）＞0（x＞0），

∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

當m＞0時，令f′（x）＞0，得0＜x＜ ，

∴f（x）在（0， ）上單調(diào)遞增；

令f′（x）＜0，得x＞ ，

∴f（x）在（ ，+∞）上單調(diào)遞減．

∴當m≤0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞），無單調(diào)減區(qū)間；

當m＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0， ），單調(diào)減區(qū)間是（ ，+∞）．

當m≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

且f（e）=lne﹣me+m=1+m（1﹣e）＞0，

∴f（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立；

當m＞0時，得f（x）max=f（ ）=﹣lnm﹣1+m，

若使f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，只需﹣lnm﹣1+m≤0，

令g（m）=﹣lnm﹣1+m，g′（m）= ，

∴當m∈（0，1）時，g'（m）＜0，

當m∈（1，+∞）時，g'（m）＞0，

∴g（m）min=g（1）=0，

∴只有m=1符合題意，

綜上得，m=1

（2）解：證明：由（ 1）知m=1，f（x）=lnx﹣x+1，

∴ = ﹣1= ﹣1，

∵b＞a＞0，∴ ＞1，

由（ 1）得，當x∈（0，+∞）時，lnx≤x﹣1，

∴l(xiāng)n ≤ ﹣1，

∵ ＞1，∴ ≤1，

∵ ＞0，∴ ﹣1≤ ﹣1＜ ﹣ = ，

∴

【解析】（1）求出f（x）的導函數(shù)，對參數(shù)m分m≤0，m＞0兩類進行討論，求出單調(diào)區(qū)間；f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即函數(shù)f（x）max≤0，求出函數(shù)的最大值；（2）先對要證明的不等式當變形，構(gòu)造一個形如f（x）的函數(shù)，再根據(jù)已研究函數(shù)的性質(zhì)，得出要證的結(jié)論．
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．