Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）.以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

(1)寫出的普通方程和的直角坐標方程；

(2)設點在上，點在上，求的最小值及此時的直角坐標.

Answer 1

【答案】（1）的普通方程為：；的直角坐標方程為直線；（2）的最小值為.

【解析】

（1）消參數可得的普通方程；將的極坐標方程展開，根據，即可求得的直角坐標方程。

（2）設，利用點到直線距離公式表示出點P到直線的距離，根據三角函數的性質即可求得最小值，將代入參數方程即可求得P點坐標。

（1）曲線的參數方程為（為參數），

移項后兩邊平方可得，

即有橢圓；

曲線的極坐標方程為，

即有，

由，，可得，

即有的直角坐標方程為直線；

（2）設，

由到直線的距離為

當時，的最小值為，

此時可取，即有.