Question

某地區(qū)試行高考考試改革：在高三學年中舉行4次統一測試，學生如果通過其中2次測試即可獲得足夠學分升上大學繼續(xù)學習，不再參加其余的測試，而每個學生最多也只能參加4次測試．假設某學生每次通過測試的概率都是

2

3

，每次測試時間間隔恰當，每次測試通過與否互相獨立．
（Ⅰ）求該學生在前兩次測試中至少有一次通過的概率；
（Ⅱ）如果考上大學或參加完4次測試，那么測試就結束．記該生參加測試的次數為X，求X的分布列及X的數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知該學生在前兩次測試中至少有一次通過的對立事件是一次也沒有通過，根據對立事件的概率和相互獨立事件同時發(fā)生的概率得到結果．
（II）該生參加測試次數X的可能取值為2，3，4，結合變量對應的事件利用獨立重復試驗概率公式寫出變量的概率，寫出分布列和數學期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意知該學生在前兩次測試中至少有一次通過的對立事件是一次也沒有通過，
記“該生在前兩次測試中至少有一次通過”的事件為事件A，
根據對立事件的概率和相互獨立事件同時發(fā)生的概率得到
P（A）=1-(1-

2

3

)2=

8

9

即該生在前兩次測試中至少有一次通過的概率為

8

9

．
（Ⅱ）該生參加測試次數X的可能取值為2，3，4，
P(X=2)=(

2

3

)2=

4

9

，
P(X=3)=

C

1 2

.

2

3

.

1

3

.

2

3

=

8

27

，
P(X=4)=

C

1 3

2

3

．(

1

3

)2+(

1

3

)3=

7

27

，
∴X的分布列為：

∴E(X)=2×

4

9

+3×

8

27

+4×

7

27

=

76

27

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，考查獨立重復試驗概率公式，考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，考查利用概率知識解決實際問題的能力，是一個必得分題目．