Question

（2013•寧波模擬）如圖，已知圓C1：x2+(y-1)2=4和拋物線C2：y=x2-1，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與C₂相交于點(diǎn)A、B，定點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，-1），直線MA，MB分別與C₁相交于點(diǎn)D、E．
（1）求證：MA⊥MB．
（2）記△MAB，△MDE的面積分別為S₁、S₂，若

S1

S2

=λ，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出AB所在的直線方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫(xiě)出x₁+x₂，x₁x₂，寫(xiě)出向量

MA

與

MB

的數(shù)量積，結(jié)合x(chóng)₁+x₂，x₁x₂整理后即可得到結(jié)論；
（2）利用直線方程斜截式寫(xiě)出MA和MB所在直線方程，分別和拋物線方程及圓的方程聯(lián)立后求出A，B，D，E點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出△MAB，△MDE的面積，面積作比后轉(zhuǎn)化為一條直線的斜率的表達(dá)式，然后利用基本不等式求λ的取值范圍．

解答：解（1）設(shè)直線AB：y=kx，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立

y=kx y=x2-1

，得x²-kx-1=0．
則x₁+x₂=k，x₁x₂=-1．
又

MA

=(x1，y1+1)，

MB

=(x2，y2+1)．
所以

MA

•

MB

=(x1，y1+1)•(x2，y2+1)
=x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=-k²-1+k²+1=0．
所以MA⊥MB．
（2）設(shè)直線MA：y=k₁x-1；MB：y=k₂x-1，k₁k₂=-1
由

y=k1x-1 y=x2-1

，得

x=0 y=-1

或

x=k1 y=k12-1

，所以A(k1，k12-1)，
同理可得B(k2，k22-1)．
則S1=

1

2

|MA||MB|=

1

2

1+ k 2 1

1+ k 2 2

|k1k2|．
由

y=k1x-1 x2+(y-1)2=4

，得

x=0 y=-1

或

x= 4k1 1+2k12 y= 2k12-1 1+2k12

，所以D(

4k1

1+2k12

，

2k12-1

1+2k12

)，
同理可得E(

4k2

1+2 k 2 2

，

2k22-1

1+2 k 2 2

)．
∴S2=

1

2

|MD||ME|=

1

2

1+ k 2 1

1+ k 2 2

|16k1k2|

(1+2 k 2 1 )(1+2 k 2 2 )

.

S1

S2

=λ=

(1+2 k 2 1 )(1+2 k 2 2 )

16

=

5+2( 1 k 2 1 + k 2 1 )

16

≥

9

16

．
所以λ的取值范圍是[

9

16

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓、直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了利用向量的數(shù)量積判斷兩條直線垂直，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，設(shè)點(diǎn)而不解點(diǎn)是常用的方法，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用題目所給條件，把看似比較分散的問(wèn)題，集中到與求解結(jié)果相關(guān)的路子上，是有一定難度題目．