Question

已知
（1）求證：sin²β=cos²γ；
（2）探求角β，γ的關(guān)系．

Answer 1

證明：（1）∵，∴，
∵sin⁴βsin²γ+cos⁴βcos²γ=cos²γsin²γ，
∴sin²γcos²γsin⁴β（1-cos²γ）+（1-sin²β）²cos²γ=0
（1-cos²γ）cos²γsin⁴β-2sin²βcos²γ+cos⁴γ=0
∴（sin²β-cos²γ）²=0，即sin²β=cos²γ．
解：（2）由（1）知有兩種情況，
當(dāng)sinβ=cosγ=時(shí)，則，
當(dāng)sinβ=-cosγ=時(shí)，有．
分析：（1）對(duì)所給的式子進(jìn)行移項(xiàng)，再同分進(jìn)行化簡(jiǎn)，主要利用平方關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化為含有sin²β和cos²γ的式子，進(jìn)行因式分解并合并；
（2）根據(jù)（2）的結(jié)論分兩種情況進(jìn)行求解，利用誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)，找出兩個(gè)角的關(guān)系．
點(diǎn)評(píng)：本題是三角恒等變換的綜合題，考查了同角的平方關(guān)系的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用和正弦函數(shù)的應(yīng)用，考查了邏輯思維能力．