Question

如圖，已知曲線C：y=

1

x

，Cn：y=

1

x+2-n

(n∈N*)．從C上的點(diǎn)Q_n（x_n，y_n）作x軸的垂線，交C_n于點(diǎn)P_n，再?gòu)腜_n作y軸的垂線，交C于點(diǎn)Q_n+1（x_n+1，y_n+1）．設(shè)x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，b_n=y_n-y_n+1．
（I）求a₁，a₂，a₃的值；
（II）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（III）設(shè)△P_iQ_iQ_i+1（i∈N^*）和面積為Si，記f(n)=

n

i=1

Si，求證f(n)＜

1

6

.

Answer 1

分析：（I）由題意知Q1(1，1)，P1(1，

2

3

)，Q2(

3

2

，

2

3

)，P2(

3

2

，

4

7

)，Q3(

7

4

，

4

7

)，P3(

7

4

，

8

15

)，Q4(

15

8

，

8

15

)，由此可知a1=

1

2

，a2=

1

22

，a3=

1

23

.
（II）由（I）可猜想an=

1

2

(n∈N*)，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（III）由題意知x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）++（x₂-x₁）+x₁=2-(n-1)+2-(n-2)++2-1+1=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-21-n，由此可知an•bn=(xn+1-xn)•(yn-yn+1)=2-n(

1

xn

-

1

xn+1

)=

1

2n

(

1

2-21-n

-

1

2-2-n

)=

1

(2•2n-2)•(2•2n-1)

，所以Sn=

1

2

(a1b1+a2b2++anbn)≤

1

2

(

1

3×2

+

1

3×22

++

1

3×2n

)=

1

12

•

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=

1

6

(1-

1

2n

)＜

1

6

.

解答：解：（I）由題意知Q1(1，1)，P1(1，

2

3

)，Q2(

3

2

，

2

3

)，P2(

3

2

，

4

7

)，Q3(

7

4

，

4

7

)，P3(

7

4

，

8

15

)，Q4(

15

8

，

8

15

)，
∴a1=

1

2

，a2=

1

22

，a3=

1

23

.（2分）
（II）由（I）猜想an=

1

2

(n∈N*)，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=

1

2

已證得成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想成立，
即ak=

1

2k

，由已知得：ak=

1

2k

=xk+1-xk.
當(dāng)n=k+1時(shí)，由ak+1=xk+2-xk+1=

1

yk+2

-

1

yk+1

∵yk+2=

1

xk+1+2-k-1

，yk+1=

1

xk+2-k

，
∴a_k+1=（x_k+1+2^-k-1）-（x_k+2^-k）
=（x_k+1-x_k）+（2^-k-1-2^-k）
=2^-k+（2^-k-1-2^-k）
=2-k-1=

1

2k+1

.
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立，綜合（1）（2）得an=

1

2n

(n∈N*)（6分）
（III）x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）++（x₂-x₁）+x₁=2-(n-1)+2-(n-2)++2-1+1=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-21-n（8分）
∴an•bn=(xn+1-xn)•(yn-yn+1)=2-n(

1

xn

-

1

xn+1

)=

1

2n

(

1

2-21-n

-

1

2-2-n

)=

1

(2•2n-2)•(2•2n-1)

∵2•2ⁿ-2≥2ⁿ，2•2ⁿ-1≥3，∴an•bn≤

1

3•2n

，（10分）
∴Sn=

1

2

(a1b1+a2b2++anbn)≤

1

2

(

1

3×2

+

1

3×22

++

1

3×2n

)=

1

12

•

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=

1

6

(1-

1

2n

)＜

1

6

.（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．