Question

已知函數(shù)f（x）=

x+a-1

x+2a

，（a＞0），
（Ⅰ）當(dāng)f（x）∈[

1

2

，

4

5

]時，求x的取值范圍．
（Ⅱ）若f（0）=0，正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n），
①證明{

1

an

+1}是等比數(shù)列，并求出{a_n}的通項(xiàng)公式；
②若S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，證明：S_n＜2．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，

1

2

≤

x+a-1

x+2a

≤

4

5

，解分式不等式可求x的范圍
（2）①由f（0）=0，可求a，進(jìn)而可求f（x），由a_n+1=f（a_n）可得，

1

an+1

=

2

an

+1，構(gòu)造

1

an+1

+1=2(

1

an

+1)，可知數(shù)列{

1

an

+1}是等比數(shù)列，可求

1

an

+1，進(jìn)而可求a_n
②由an=

1

2n-1

＜

1

2

•

1

2n-1-1

=

1

2

an-1可證明an＜

1

2n-1

a1=

1

2n-1

，可證

解答：解：（1）∵f（x）∈[

1

2

，

4

5

]，
∴

1

2

≤

x+a-1

x+2a

≤

4

5

∴

x+a-1 x+2a ≥ 1 2 x+a-1 x+2a ≤ 4 5

∴

x-2 x+2a ≥0 x-3a-5 x+2a ≤0

又a＞0，
所以

x＜-2a或x≥2 -2a＜x≤3a+5

∴2≤x≤3a+5
（2）①∵f（0）=0，
∴a=1，f（x）=

x

x+2

，
由a_n+1=f（a_n），可得，

1

an+1

=

2

an

+1，
即

1

an+1

+1=2(

1

an

+1)
∵a₁=1
∴

1

a1

+1=2
∴數(shù)列{

1

an

+1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列
∴

1

an

+1=2ⁿ
∴an=

1

2n-1

②∴an=

1

2n-1

＜

1

2

•

1

2n-1-1

=

1

2

an-1
∴an＜

1

2n-1

a1=

1

2n-1

∴S_n=a₁+a₂+…+a_n＜1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=

1- 1 2n

1- 1 2

=2(1-

1

2n

)＜2

點(diǎn)評：本題主要考查了利用待定系數(shù)求解函數(shù)的解析式，等比數(shù)列的 定義法的證明，及等比數(shù)列的 通項(xiàng)公式的應(yīng)用，等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用等知識的綜合．