【題目】已知函數(shù)
且
.
(1)當(dāng)
時，求曲線
在點
處的切線方程；
(2)當(dāng)
時，求證：
；
(3)討論函數(shù)
的極值．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析.
【解析】
（I）求得切點坐標(biāo)和斜率，由此求得切線方程.（II）將原不等式轉(zhuǎn)化為
成立，構(gòu)造函數(shù)
，利用導(dǎo)數(shù)求得
的最大值為零，由此證得不等式成立.（III）對
求導(dǎo)后，對
分成
兩類，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，討論得出函數(shù)的極值.
解：（Ⅰ）當(dāng)
時，
．所以
．
因為
，
所以曲線
在
處的切線方程為
．
（Ⅱ）當(dāng)
時，
．
函數(shù)
的定義域為
．
不等式
成立
成立 成立.
設(shè) 
，
則
．
當(dāng)
變化時，
，
變化情況如下表：
|
|
|
|
| ＋ |
| － |
| ↗ | 極大值 | ↘ |
所以
．
因為
，所以
，
所以．
（Ⅲ）求導(dǎo)得
. 令
，因為
可得
．
當(dāng)
時，的定義域為
.當(dāng)變化時，
，變化情況如下表：
|
|
|
|
| ＋ |
| － |
| ↗ | 極大值 | ↘ |
此時有極大值
，無極小值．
當(dāng)
時，的定義域為
，當(dāng)變化時，，變化情況如下表：
|
|
|
|
| － |
| ＋ |
| ↘ | 極小值 | ↗ |
此時有極小值，無極大值．
尖子生新課堂課時作業(yè)系列答案
英才計劃同步課時高效訓(xùn)練系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F(xiàn)分別在線段BC，AD上，EF∥AB，將矩形ABEF沿EF折起，記折起后的矩形為MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF.
(1)在線段BC是否存在一點E，使得ND⊥FC ，若存在，求出EC的長并證明；
若不存在，請說明理由．
(2)求四面體NEFD體積的最大值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，
，
是通過某城市開發(fā)區(qū)中心O的兩條南北和東西走向的街道，鏈接M，N兩地之間的鐵路是圓心在上的一段圓弧，若點M在O正北方向，且
，點N到，距離分別為4km和5km．
建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求鐵路線所在圓弧的方程；
若該城市的某中學(xué)擬在O點正東方向選址建分校，考慮環(huán)境問題，要求校址到點O的距離大于4km，并且鐵路線上任意一點到校址的距離不能少于
，求該校址距離點O的最近距離．
注：校址視為一個點
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
： 
的離心率為
，以橢圓長、短軸四個端點為頂點為四邊形的面積為
.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）如圖所示，記橢圓的左、右頂點分別為
、
，當(dāng)動點
在定直線
上運動時，直線
分別交橢圓于兩點
、
，求四邊形
面積的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖231所示．
圖231
將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立．
(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；
(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某部門在同一上班高峰時段對甲、乙兩地鐵站各隨機(jī)抽取了50名乘客，統(tǒng)計其乘車等待時間（指乘客從進(jìn)站口到乘上車的時間，乘車等待時間不超過40分鐘）．將統(tǒng)計數(shù)據(jù)按
分組，制成頻率分布直方圖：
假設(shè)乘客乘車等待時間相互獨立．
(1)在上班高峰時段，從甲站的乘客中隨機(jī)抽取1人，記為
；從乙站的乘客中隨機(jī)抽取1人，記為
.用頻率估計概率，求“乘客,乘車等待時間都小于20分鐘”的概率；
(2)從上班高峰時段,從乙站乘車的乘客中隨機(jī)抽取3人，
表示乘車等待時間小于20分鐘的人數(shù)，用頻率估計概率，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知點
為橢圓
上任意一點，直線
與圓
交于
兩點，點
為橢圓
的左焦點．
（Ⅰ）求橢圓的離心率及左焦點的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求證：直線
與橢圓相切；
（Ⅲ）判斷
是否為定值，并說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】隨著“互聯(lián)網(wǎng)+交通”模式的迅猛發(fā)展，“共享助力單車”在很多城市相繼出現(xiàn).某“共享助力單車”運營公司為了解某地區(qū)用戶對該公司所提供的服務(wù)的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了200名用戶，得到用戶的滿意度評分，現(xiàn)將評分分為5組，如下表:
組別 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 |
滿意度評分 |
|
|
|
|
|
頻數(shù) | 12 | 28 | 68 |
| 40 |
頻率 | 0.06 |
| 0.34 |
| 0.2 |
（1）求表格中的
，
，
的值；
（2）估計用戶的滿意度評分的平均數(shù)；
（3）若從這200名用戶中隨機(jī)抽取50人，估計滿意度評分高于6分的人數(shù)為多少？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】艾滋病是一種危害性極大的傳染病，由感染艾滋病病毒
病毒
引起，它把人體免疫系統(tǒng)中最重要的CD4T淋巴細(xì)胞作為主要攻擊目標(biāo)，使人體喪失免疫功能
下表是近八年來我國艾滋病病毒感染人數(shù)統(tǒng)計表：
年份 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代碼x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
感染者人數(shù) |
|
|
|
|
|
|
| 85 |
請根據(jù)該統(tǒng)計表，畫出這八年我國艾滋病病毒感染人數(shù)的折線圖；
請用相關(guān)系數(shù)說明：能用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系；
建立y關(guān)于x的回歸方程
系數(shù)精確到
，預(yù)測2019年我國艾滋病病毒感染人數(shù)．
參考數(shù)據(jù)：
；
，
，
，
參考公式：相關(guān)系數(shù)
，
回歸方程
中，
，
．
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