Question

【題目】設函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性和極值；

（2）證明：當時，若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點.

Answer 1

【答案】（1）①當時，在上單調(diào)遞增，無極值，②當時的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，在處取得極小值；（2）證明見解析.

【解析】

試題（1）先求，然后討論當時，，在上單調(diào)遞增，無極值；②當，由，解得，得增區(qū)間，得減區(qū)間，進而求得極值；（2）存在零點只需最小值，從而，討論當時和當時兩種情況，根據(jù)單調(diào)性及零點定理可分別證明只有一個零點.

試題解析：（1）的定義域為，

，

①當時，，在上單調(diào)遞增，無極值，

②當，由，解得，

與在區(qū)間上的情況如下：

所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；

所以在處取得極小值.

（2）由（1）知，在區(qū)間上的最小值為.

因為存在零點，所以，從而.

當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，

所以是在區(qū)間上的唯一零點.

當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，

所以在區(qū)間上僅有一個零點.

綜上可知，當時，若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點.