Question

如圖，已知橢圓的離心率是，分別是橢圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)。點(diǎn)是軸上位于右側(cè)的一點(diǎn)，且滿足．

（1）求橢圓的方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)作軸的垂線，再作直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．求證：以線段為直徑的圓恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）；（2）定點(diǎn)坐標(biāo)為，證明見詳解．

試題分析：（1）設(shè)，然后利用建立關(guān)于的方程，然后利用得到的方程，兩方程結(jié)合消去可得到的關(guān)系，再由條件中的離心率得到的關(guān)系，進(jìn)行通過解方程組可求得的值，進(jìn)行可求得橢圓的方程，以及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)．將直線代入橢圓方程消去的得到的二次方程，利用韋達(dá)定理可利用表示點(diǎn)的坐標(biāo)．又設(shè)以線段為直徑的圓上任意一點(diǎn)，然后利用可求得圓的方程，再令，取時(shí)滿足上式，故過定點(diǎn)．
試題解析：（1），設(shè)，
由有，
又，，
于是，
又，，
又，，橢圓，且．
（2），設(shè)，由
，
由于（*），
而由韋達(dá)定理：，
，，
設(shè)以線段為直徑的圓上任意一點(diǎn)，
由有
，
由對稱性知定點(diǎn)在軸上，令，取時(shí)滿足上式，故過定點(diǎn)．