Question

如圖，已知拋物線M：x²=4py（p＞0）的準線為l，N為l上的一個動點，過點N作拋物線M的兩條切線，切點分別為A，B，再分別過A，B兩點作l的垂線，垂足分別為C，D．
求證：直線AB必經過y軸上的一個定點Q，并寫出點Q的坐標．

Answer 1

分析：設點N，A，B的坐標代入拋物線方程，求得y=

x2

4p

，求導數后可知切線斜率進而可得

y1+p

x1-m

=

x1

2p

，化簡整理得x₁²-2mx₁-4p²=0，同理可得x₂²-2mx₂-4p²=0，進而可知x₁和x₂是關于x的方程x²-2mx-4p²=0的兩個根，進而可求得這兩個根，直線AB的方程y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)中，令x=0得y=y1-

y2-y1

x2-x1

x1=

x2y1-x1y2

x2-x1

整理后可知結果為定值，進而可知直線AB必經過y軸上的一個定點Q（0，p），即拋物線的焦點．

解答：證明：因為拋物線的準線l的方程為y=-p，
所以可設點N，A，B的坐標分別為（m，-p），（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁²=4py₁，x₂²=4py₂，由x²=4py，得y=

x2

4p

，
求導數得y′=

x

2p

，于是

y1+p

x1-m

=

x1

2p

，
即

x 2 1 4p +p

x1-m

=

x1

2p

，
化簡得x₁²-2mx₁-4p²=0，
同理可得x₂²-2mx₂-4p²=0，
所以x₁和x₂是關于x的方程x²-2mx-4p²=0
兩個實數根，所以x1，2=m±

m2+4p2

，且x₁x₂=-4p²．
在直線AB的方程y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)中，
令x=0，
得y=y1-

y2-y1

x2-x1

x1=

x2y1-x1y2

x2-x1

═

x1x2(x1-x2)

4p(x2-x1)

=-

x1x2

4p

=p為定值，
所以直線AB必經過y軸上的一個定點Q（0，p），即拋物線的焦點．

點評：本題主要考查了拋物線的應用，考查了學生綜合分析問題和運算的能力．