Question

設(shè)拋物線y²=4x截直線y=2x+m所得的弦AB長為3

5

．
（1）求m的值；
（2）以弦AB為底邊，以x軸上的點(diǎn)P為頂點(diǎn)組成的三角形的面積為39時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立方程

y2=4x y=2x+m

可得，4x²+4（m-1）x+m²=0由△＞0有  16（m-1）²-16m²＞0得m＜

1

2

     
由AB=3

5

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

可求m
（2）設(shè)P（x₀，0），先求點(diǎn)P（x₀，0）到AB：2x-y-4=0距離 d =

|2x0-4|

5

，再根據(jù)

1

2

|AB|d=39，可求P得坐標(biāo)

解答：解：（1）

y2=4x y=2x+m

∴4x²+4（m-1）x+m²=0
由△＞0有  16（m-1）²-16m²＞0
解得m＜

1

2

     
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），則x₁+x₂=1-mx1x2=

m2

4

，
∵AB=3

5

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

解得  m=-4  適合m＜

1

2

∴m=-4
（2）設(shè)P（x₀，0）則點(diǎn)P（x₀，0）到AB：2x-y-4=0距離 d =

|2x0-4|

5

 
依題意 

1

2

|AB|d=39，∴

1

2

•3

5

•

|2x0-4|

5

=39，∴x₀=15或x₀=-11
∴P（15，0）或P（-11，0）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與拋物線相交求解弦長，關(guān)鍵是根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系表示由AB=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

，這是圓錐曲線的考查的熱點(diǎn)之一．