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          已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a＞b＞0)          的離心率e=
          		2
          2
          ，短軸長為2．
          （1）求橢圓方程；
          （2）若橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B，經(jīng)過點(diǎn)(0，
          		2
          )          且斜率k的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)P、Q．是否存在常數(shù)k，使得向量
          OP
          +
          OQ
          與
          AB
          共線？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          （1）由已知得
          2b=2
          c
          a
          =1
          a2=b2+c2
          ?
          a=
          		2
          b=1
          c=1

          故橢圓方程是
          x2
          2
          +y2          =1（4分）
          （2）由已知條件，直線l：y=kx+
          		2
          ，代入橢圓方程得
          x2
          2
          +(kx+
          		2
          )2          =1．
          整理得(
          1
          2
          +k2)x2+2
          		2
          kx+1=0①
          由已知得△=8k2-4(
          1
          2
          +k2)=4k2          -2＞0，解得k＜-
          		2
          2
          或k＞
          		2
          2
          ．（6分）
          設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則
          OP
          +
          OQ
          =(x1+x2，y1+y2)          ，
          由方程①，x1+x2=-
          4
          		2
          k
          1+2k2
          ． ②
          又y1+y2=k（x1+x2）+2
          		2
          ． ③
          而A(
          		2
          ，0)          ，B（0，1），
          AB
          =(-
          		2
          ，1)          ，
          所以
          OP
          +
          OQ
          與
          AB
          共線等價于x1+x2=-
          		2
          (y1+y2)          ，
          將②③代入上式，解得k=
          		2
          2
          ，（10分）
          又k＜-
          		2
          2
          或k＞
          		2
          2
          ，
          故沒有符合題意的常數(shù)k．（12分）
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a＞b＞0)          的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
          1
          2

          （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
          （Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點(diǎn)，求
          PF1
          •
          PA
          的取值范圍
          （III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N（均不是長軸的頂點(diǎn)），AH⊥MN垂足為H且
          AH
          2          =
          MH
          •
          HN
          ，求證：直線l恒過定點(diǎn)．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F（-c，0）是長軸的一個四等分點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn)，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
          （1）當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
          （2）求k1：k2的值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a＞b＞0)          的離心率是
          		3
          2
          ，且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），直線y=
          1
          2
          x+m(m＜0)          與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
          （1）求橢圓的方程；
          （2）當(dāng)m=-1時，求△MAB的面積；
          （3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2013•威海二模）已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a＞b＞0)          的離心率為e=
          		6
          3
          ，過右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為
          2
          		6
          3
          +2          ．
          （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
          （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若N為AB的中點(diǎn)，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)P．求證：
          ND
          •
          MP
          AB
          2
          為定值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．
          

			
          

			
          
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