Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，直線與曲線交于兩點(diǎn).

（1）求直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程；

（2）求的長(zhǎng)；

（3）以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為；求點(diǎn)到線段中點(diǎn)的距離．

Answer 1

【答案】（1）（為參數(shù)）（2） （3）

【解析】

（1）求得直線恒過(guò)點(diǎn) 且斜率即傾斜角，即得直線的參數(shù)方程.

（2）將直線的參數(shù)方程和曲線方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)的關(guān)系寫(xiě)出兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，利用弦長(zhǎng)公式求|AB|的長(zhǎng)；
（3）將點(diǎn)P的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，然后直接利用參數(shù)的幾何意義求解．

（1）依題，得：直線過(guò)點(diǎn)且斜率即傾斜角

直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)型（為參數(shù)）

（2）將代入曲線方程得

設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，，

所以

（3）由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式得直角坐標(biāo)，

點(diǎn)在直線上，中點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為，