Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)，已知在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)解析式為．函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，等價(jià)于方程在有解．

即，，令，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值即可得出．

等價(jià)于等價(jià)于

，,，，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，利用分析法即可得證.

（1）函數(shù)與的圖像上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，

即的圖像與函數(shù)的圖像有交點(diǎn)，

即在上有解.

即在上有解.

設(shè)，（），則

當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，

所以，即.

（2），

在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，

所以

因?yàn)?/span>且，所以，

即

設(shè)，則

要證，即證，

只需證，即證

設(shè)，，

則在上單調(diào)遞增，，

即

所以，即.