Question

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)a=時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，試比較f（x）與1的大��；
（3）求證：（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對(duì)f（x）求導(dǎo)，再令f^′（x）=0，求出極值點(diǎn)，進(jìn)而可得出單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）令h（x）=f（x）-1，再求導(dǎo)，利用單調(diào)性即可比較出f（x）與1的大��；
（3）利用（2）的結(jié)論，即可證出．
解答：解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域是（0，+∞）．
∴=．
令f^′（x）=0，解得或x=2．
∵當(dāng)時(shí)，或x＞2時(shí)，f^′（x）＞0；當(dāng)時(shí)，f^′（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）在或（2，+∞）上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）的極大值是，極小值是．
（2）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=lnx+，定義域?yàn)椋?，+∞）．
令h（x）=f（x）-1=，定義域?yàn)椋?，+∞）．
∵h(yuǎn)^′（x）==＞0，
∴h（x）在（0，+∞）是增函數(shù)．
①當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＞h（x）=0，∴f（x）＞1．
②當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h（x）＜h（1）=0，∴f（x）＜1．
③當(dāng)x=1時(shí)，h（1）=0，∴f（x）=1．
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，
當(dāng)x＞1時(shí)，，即．
令，代入得．
∴，
依次取n=1，2，…，n．再相加即可得出：
．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值是解題的關(guān)鍵．