Question

（12分）已知函數(shù)．

（1）當(dāng)a=1時，證明函數(shù)只有一個零點；

（2）若函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解析：（1）當(dāng)a=1時，，其定義域是，

                               -------1分

     令，即，解得或．

    ∵x>0，舍去．

       當(dāng)時，；當(dāng)時，．

∴函數(shù)在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減-------4分

     ∴當(dāng)x=1時，函數(shù)取得最大值，其值為．

當(dāng)時，，即．

     ∴函數(shù)只有一個零點．                                              --------------------6分

（2）因為其定義域為，

所以----------7分

①當(dāng)a=0時，在區(qū)間上為增函數(shù)，不合題意----8分

②當(dāng)a>0時，等價于，即．

此時的單調(diào)遞減區(qū)間為．

依題意，得解之得                ---------------------10分

③當(dāng)a<0時，等價于，即?

此時的單調(diào)遞減區(qū)間為， 得

綜上，實數(shù)a的取值范圍是         -----------------12分